새 도로 길이 최소

[출제의도] 삼각함수의 미분을 이용하여 최소값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 새로운 도로와 기존 도로 $\mathrm{PA} , PB$가 만나는 점을 각각 $\mathrm{C} , D$라 하고 마을을 점$\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \overline{QC} + \overline{QD}$$\displaystyle = \frac{16}{\sin \theta} + \frac{2}{\cos \theta}$ $\displaystyle f ( \theta ) = \frac{16}{\sin \theta} + \frac{2}{\cos \theta}$라 놓으면 $\displaystyle f' ( \theta ) = - \frac{16 \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} + \frac{2 \sin \theta}{\cos ^{2} \theta} = 0$에서 $16 \cos ^{3} \theta - 2 \sin ^{3} \theta = 0$, $\tan ^{3} \theta = 8$ ∴ $\tan \theta = 2$ 이때 $f ( \theta )$는 최소이므로 새로운 직선도로의 길이가 최소가 되기 위한 $\tan \theta$의 값은 $2$이다.