사다리꼴과 두 원

[출제의도] 삼차방정식을 활용하여 문제해결하기

선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원을 $C _{1}$이라 하고 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 원을 $C _{2}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{AB} , CD$의 중점을 각각 $\mathrm{M} , N$이라 하면 두 점 $\mathrm{M} , N$은 각각 두 원 $C _{1} , C _{2}$의 중심이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{CD}$이므로 두 원 $C _{1} , C _{2}$의 반지름의 길이가 서로 같고 원 $C _{1}$과 원 $C _{2}$는 오직 한 점에서 만나므로 원 $C _{1}$과 원 $C _{2}$가 만나는 점은 선분 $\mathrm{MN}$의 중점이다. 선분 $\mathrm{MN}$의 중점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{DH}$와 선분 $\mathrm{MN}$이 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 두 원 $C _{1} , C _{2}$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{QN}} = \overline{PN} - \overline{PQ} =$$r - 2$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} = 2 \times \overline{QN}$$= 2 r - 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} ^{2} = \overline{CD} ^{2} - \overline{HC} ^{2}$$= 16 r - 16$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BR}} = \overline{HC}$$= 2 r - 4$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \overline{BR} + \overline{RH} + \overline{HC}$$= 4 r - 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $S ^{2}$$\displaystyle = \left\{ \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{BC}} + \overline{AD} \right) \times \overline{DH} \right\} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times \left( \mathrm{\overline{BC}} + \overline{AD} \right) ^{2} \times \overline{DH} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times \left\{ \left( 4 r - 4 \right) + 4 \right\} ^{2} \times \left( 16 r - 16 \right)$ $= 64 r ^{2} \left( r - 1 \right)$ $l$$=$$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{AD}$$= 2 r + \left( 4 r - 4 \right) + 2 r + 4 = 8 r$ $S ^{2} + 8 l = 6720$에서 $64 r ^{2} \left( r - 1 \right) + 64 r = 6720$ $r ^{3} - r ^{2} + r - 105$$= \left( r - 5 \right) \left( r ^{2} + 4 r + 21 \right) = 0$ $r = 5$ 또는 $r ^{2} + 4 r + 21 = 0$ 이차방정식 $x ^{2} + 4 x + 21 = 0$의 판별식 $D$가 $D = 4 ^{2} - 4 \times 1 \times 21 = - 68 < 0$이므로 $r ^{2} + 4 r + 21 = 0$을 만족시키는 실수 $r$의 값은 존재하지 않는다. 따라서 $r = 5$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} ^{2} = \overline{BH} ^{2} + \overline{DH} ^{2} = 100 + 64 = 164$