사다리꼴과 벡터의 내적

[출제의도] 벡터의 연산과 벡터의 내적을 이용하여 조건을 만족시키는 점의 위치를 찾고, 벡터의 내적을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 $2 \mathrm{\vec{BP}}$$= \mathrm{\vec{AC}} - 2 {\vec{AD}}$$= \mathrm{\vec{AC}} + {\vec{CB}}$$= {\vec{\mathrm{AB}}}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{BP}} = \frac{1}{2} {\vec{AB}}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{BA}$를 $1 : 3$으로 외분하는 점이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \frac{3}{2} \overline{AB} = 3$ 이다.

한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 4$, $\mathrm{\angle}$$\displaystyle \mathrm{CBA} = \frac{\pi}{3}$이므로 $\mathrm{\angle}$$\displaystyle \mathrm{BAC} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 2 \sqrt{3}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{A}$이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 직선 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 조건 (나)에 의하여 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{PQ}} = {\vec{AC}} \bullet {\vec{AH}} = 6$ 이어야 하므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 있고 $\displaystyle \mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AH}} = \left| {\vec{AC}} \right| \left| {\vec{AH}} \right| = 2 \sqrt{3} \times {\mathrm{\overline{AH}} = 6}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \sqrt{3}$이다. 따라서 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선인 직선 $\mathrm{DH}$ 위에 있다. 이때 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서 $\mathrm{\angle}$$\mathrm{PBQ} =$$\mathrm{\angle}$$\mathrm{BAQ} +$$\mathrm{\angle}$$\mathrm{BQA}$이므로 $2 \times {\mathrm{\angle} BQA} = \mathrm{\angle} PBQ$를 만족시키려면 $\mathrm{\angle} BAQ = \mathrm{\angle} BQA$, 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BQ}$이어야 한다. 따라서 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$는 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$에 수직인 직선이 직선 $\mathrm{DH}$와 만나는 점이어야 한다.

이때 직각삼각형 $\mathrm{AQD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DQ}} = \sqrt{4 + 12} = 4$ 따라서 $\mathrm{\vec{CP}} \bullet {\vec{DQ}}$$= \left( \mathrm{\vec{CA}} + {\vec{AP}} \right) \bullet {\vec{DQ}}$ $= \mathrm{\vec{CA}} \bullet {\vec{DQ}} + {\vec{AP}} \bullet {\vec{DQ}}$ $\displaystyle = \left| \mathrm{\vec{CA}} \right| \left| \mathrm{\vec{DQ}} \right| \cos \frac{\pi}{2} + \left| \mathrm{\vec{AP}} \right| \left| \mathrm{\vec{DQ}} \right| \cos 0$$= 0 + 3 \times 4 \times 1$ $= 12$ [다른 풀이] 다음 그림과 같이 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표가 각각 $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0 , \sqrt{3} \right)$, $\mathrm{B} \left( - 1 , 0 \right)$, $\mathrm{C} \left( 3 , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \sqrt{3} \right)$ 이 되도록 좌표평면을 설정하자.

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$라 하면 $\mathrm{\vec{AC}} = 2 \left( {\vec{AD}} + {\vec{BP}} \right)$에서 $\displaystyle \left( 3 , - \sqrt{3} \right)$$= 2 \left\{ \left( 2 , 0 \right) + \left( a + 1 , b \right) \right\}$ $3 = 2 \left( a + 3 \right)$에서 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{2}$ $\displaystyle - \sqrt{3} = 2 b$에서 $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{P} \left( - \frac{3}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$이므로 다음 그림과 같이 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$는 한 직선 위에 있고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 1$이다.

또, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\mathrm{Q}$$\left( x , y \right)$라 하면 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{PQ}} = 6$ 에서 $\displaystyle \left( 3 , - \sqrt{3} \right) \bullet \left( x + \frac{3}{2} , y + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 6$ $\displaystyle 3 x + \frac{9}{2} - \sqrt{3} y - \frac{3}{2} = 6$ $\displaystyle y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ 이므로 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ 위에 있다.

이때 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서 $\mathrm{\angle}$$\mathrm{PBQ} =$$\mathrm{\angle}$$\mathrm{BAQ}$$+$$\mathrm{\angle}$$\mathrm{BQA}$이므로 $2 \times {\mathrm{\angle} BQA} = \mathrm{\angle} PBQ$ 를 만족시키려면 $\mathrm{\angle}$$\mathrm{BAQ} = \mathrm{\angle} BQA$, 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BQ}$이어야 한다. 따라서 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 0 , - \sqrt{3} \right)$이므로 $\mathrm{\vec{CP}} \bullet {\vec{DQ}}$$\displaystyle = \left( - \frac{9}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$\displaystyle \bullet \left( - 2 , - 2 \sqrt{3} \right)$$= 9 + 3$ $= 12$