기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사다리꼴에서 벡터의 내적

문제

AD‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = 2, AB‾=CD‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{2}, ∠ABC=∠BCD=45∘\angle {\mathrm{ABC}} = \angle {\mathrm{BCD}} = 45 ^\circ인 사다리꼴 ABCD\mathrm{ABCD}가 있다. 두 대각선 AC\mathrm{AC}와 BD\mathrm{BD}의 교점을 E\mathrm{E}, 점 A\mathrm{A}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}, 선분 AH\mathrm{AH}와 선분 BD\mathrm{BD}의 교점을 F\mathrm{F}라 할 때, AF⃗⋅CE⃗\vec{\mathrm{AF}} \cdot {\vec{\mathrm{CE}}}의 값은? [3점] ①−19\displaystyle - \frac{1}{9}②−29\displaystyle - \frac{2}{9}③−13\displaystyle - \frac{1}{3}④−49\displaystyle - \frac{4}{9}⑤−59\displaystyle - \frac{5}{9}

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④

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해설

[출제의도] 벡터의 성질을 이용하여 벡터의 내적을 구할 수 있는가? 직각삼각형 ABH\mathrm{ABH}에서 AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=2\displaystyle = \sqrt{2}, ∠ABC\angle \mathrm{ABC}=45∘= 45 ^\circ 이므로 AH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}=BH‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{BH}}}=1= 1

점 D\mathrm{D}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면 BI‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}}=3= 3, DI‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DI}}}=1= 1이고 △BID∽△BHF\triangle \mathrm{BID} \backsim \triangle \mathrm{BHF}이므로 BI‾:DI‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}} : {\overline{\mathrm{DI}}}=BH‾:FH‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{BH}}} : {\overline{\mathrm{FH}}} 즉, 3:13 : 1=1:FH‾\displaystyle = 1 : {\overline{\mathrm{FH}}} FH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}}=13\displaystyle = \frac{1}{3} AF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}}=AH‾−FH‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} - {\overline{\mathrm{FH}}}=1−13\displaystyle = 1 - \frac{1}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3} 한편 점 E\mathrm{E}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 J\mathrm{J}라 하면 BJ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}}=CJ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{CJ}}}=2= 2, BH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}}=HJ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{HJ}}}=1= 1 이므로 EJ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{EJ}}}=2FH‾\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{FH}}}=23\displaystyle = \frac{2}{3} 직각삼각형 JCE\mathrm{JCE}에서 ∠JCE\angle \mathrm{JCE}=θ= \theta라 하면 sin⁡θ\sin \theta=∣EJ⃗∣∣CE⃗∣\displaystyle = \frac{\left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right|}{\left| {\vec{\mathrm{CE}}} \right|}이고, 두 벡터 EJ⃗{\vec{\mathrm{EJ}}}, CE⃗{\vec{\mathrm{CE}}}가 이루는 각의 크기는 π2+θ\displaystyle \frac{\pi}{2} + \theta이다. 그리고 AF⃗{\vec{\mathrm{AF}}}=EJ⃗= {\vec{\mathrm{EJ}}} 이므로 AF‾∙CE⃗\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} \bullet {\vec{\mathrm{CE}}}=EJ⃗∙CE⃗= {\vec{\mathrm{EJ}}} \bullet {\vec{\mathrm{CE}}} =∣EJ⃗∣∣CE⃗∣cos⁡(π2+θ)\displaystyle = \left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{CE}}} \right| \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) =∣EJ⃗∣∣CE⃗∣×(−sin⁡θ)= \left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{CE}}} \right| \times \left( - \sin \theta \right) =∣EJ⃗∣∣CE⃗∣×(−∣EJ⃗∣∣CE⃗∣)\displaystyle = \left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{CE}}} \right| \times \left( - \frac{\left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right|}{\left| {\vec{\mathrm{CE}}} \right|} \right) =−∣EJ⃗∣2= \mathit{-} \left| {\vec{\mathrm{EJ}}} \right| ^{2} =−(23)2\displaystyle = \mathit{-} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} =−49\displaystyle = \mathit{-} \frac{4}{9}

태그

#내적#사다리꼴

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