사다리꼴 위 점과 xy 범위

$\triangle PBC$에서 $\angle BPC = \theta$라 하면 $\triangle PBC$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$이고, $\displaystyle 1 = \frac{1}{2} x y \sin \theta \cdots \cdots \text{①}$ 한편, 점 $P$가 $A$에 있을 때, $\displaystyle \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 점 $P$가 $D$에 있을 때 $\displaystyle \angle BPC = \frac{\pi}{2}$이므로 $\sin \theta = 1$ $\therefore \frac{2}{\sqrt{5}} \leq \sin \theta \leq 1 \cdots \cdots \text{ ②}$ ①에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{2}{xy}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} \leq \frac{2}{xy} \leq 1$ $\displaystyle \therefore 2 \leq xy \leq \sqrt{5}$ <Ⅰ, Ⅱ 참> 한편, $xy = 2$일 때는 ①에서 $\sin \theta = 1$ $\displaystyle \therefore \theta = \frac{\pi}{2}$ $\therefore \triangle BCP$는 직각삼각형이다.<Ⅲ 참>