사다리꼴 수로 최대 넓이

사다리꼴의 윗변과 등변이 이루는 각의 크기를 $\mathrm{\theta}$$\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 높이는 $2 \sin \theta$, 윗변의 길이는 $2 \times 2 \cos \theta + 2$이므로 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} ( 4 + 4 \cos \theta ) \times 2 \sin \theta$$= 4 ( 1 + \cos \theta ) \sin \theta$ $S' ( \theta ) = 4 ( - \sin \theta ) \sin \theta + 4 ( 1 + \cos \theta ) \cos \theta$ $= 4 ( 2 \cos ^{2} \theta + \cos \theta - 1 )$$= 4 ( 2 \cos \theta - 1 ) ( \cos \theta + 1 )$ $S' ( \theta ) = 0$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{2}$일 때, 극대이면서 최대이다. 따라서 단면의 최대 넓이는 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$이다.