미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사다리꼴 선분 세제곱 극한

문제

AD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 1, AB‾=2,BC‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{2} , \overline{BC} = 3인 등변사다리꼴 ABCD\mathrm{ABCD}에서 변 AB\mathrm{AB}를 nn등분한 점을 각각 P1,P2,P3,⋯ ,Pn−1{\mathrm{P} _{1} , P _{2} , P _{3} , \cdots , P} _{n - 1}이라 하고 각 점에서 변 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선을 그어 변 CD\mathrm{CD}와 만나는 점을 각각 Q1,Q2,⋯ ,Qn−1{\mathrm{Q} _{1} , Q _{2} , \cdots , Q} _{n - 1}이라 할 때, lim⁡n→∞1n(P1Q1‾3+P2Q2‾3+P3Q3‾3+⋯+PnQn‾3)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\begin{aligned} \frac{1}{n} \left( {\overline{{\mathrm{P}} _{1} {\mathrm{Q}} _{1}}} ^{3} + {\overline{{\mathrm{P}} _{2} {\mathrm{Q}} _{2}}} ^{3} + {\overline{{\mathrm{P}} _{3} {\mathrm{Q}} _{3}}} ^{3} + \cdots + {\overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}}} ^{3} \right) \end{aligned}} 의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

lim⁡n→∞1n(P1Q1‾3+P2Q2‾3+⋯+PnQn‾3)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n}} \left( {\overline{{\mathrm{P}} _{1} {\mathrm{Q}} _{1}}} ^{3} + {\overline{{\mathrm{P}} _{2} {\mathrm{Q}} _{2}}} ^{3} + \cdots + {\overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}}} ^{3} \right) =lim⁡n→∞1n∑k=1n(1+2kn)3=12∫13x3dx=10\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) ^{3} = \frac{1}{2} \int _{1} ^{3} {x ^{3} dx} = 10}

태그

#구분구적법#정적분

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