미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사다리꼴 선분 급수

문제

등변사다리꼴 ABCDABCD에서 두 대각선 AC‾\displaystyle \overline{AC}와 BD‾\displaystyle \overline{BD}의 교점을 P1P _{1}이라 하고, P1P _{1}에서 BC‾\displaystyle \overline{BC}에 평행인 선을 그어 CD‾\displaystyle \overline{CD}와 만나는 점을 Q1Q _{1}이라 하자. 마찬가지 방법으로 AQ‾1\displaystyle \overline{AQ} _{1}과 BD‾\displaystyle \overline{BD}의 교점을 P2P _{2}라 하고, P2P _{2}에서 BC‾\displaystyle \overline{BC}에 평행인 선을 그어 CD‾\displaystyle \overline{CD}와 만나는 점을 Q2Q _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 P1,Q1,P2,Q2,⋯ ,Pn,Qn,⋯P _{1} , Q _{1} , P _{2} , Q _{2} , \cdots , P _{n} , Q _{n} , \cdots을 얻는다. PnQn‾=xn\displaystyle \overline{P _{n} Q _{n}} = x _{n}이라 할 때, ∑n=1∞xn⋅xn+1\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} x _{n} \cdot x _{n+1}의 값은? [3점]

①125\displaystyle \frac{12}{5}②185\displaystyle \frac{18}{5}③44④256\displaystyle \frac{25}{6}⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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①

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해설

△P1AD∽△P1CB\triangle P _{1} AD \backsim \triangle P _{1} CB이고 닮음비가 2:32 : 3이므로 DP‾1:P1B‾=2:3\displaystyle \overline{DP} _{1} : \overline{P _{1} B} = 2 : 3이고 P1Q1‾∥BC‾\displaystyle \overline{P _{1} Q _{1}} \parallel \overline{BC}이므로 P1Q1‾:BC‾=DP1‾:DB‾→x1:3=2:5\displaystyle \overline{P _{1} Q _{1}} : \overline{BC} = \overline{DP _{1}} : \overline{DB} \rightarrow x _{1} : 3 = 2 : 5 ∴x1=65\displaystyle \therefore x _{1} = \frac{6}{5}

xn+1:xn=DP‾n+1:DP‾n=2:(2+xn)\displaystyle x _{n+1} : x _{n} = \overline{DP} _{n+1} : \overline{DP} _{n} = 2 : ( 2 + x _{n} ) 2xn=xn+1(2+xn)2 x _{n} = x _{n+1} ( 2 + x _{n} ) →\rightarrow xn+1⋅xn=2(xn−xn+1)x _{n+1} \cdot x _{n} = 2 ( x _{n} - x _{n+1} ) Sn=∑k=1nxkxk+1=2∑k=1n(xk−xk+1)=2(x1−xn+1)\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} x _{k} x _{k+1} = 2 \sum\limits _{k=1} ^{n} ( x _{k} - x _{k+1} ) = 2 ( x _{1} - x _{n+1} ) ∑n=1∞xnxn+1=lim⁡n→∞Sn=2x1=2×65=125\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} x _{n} x _{n+1} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = 2 x _{1} = 2 \times \frac{6}{5} = \frac{12}{5}

태그

#급수#도형#망원합

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