미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사다리꼴 넓이와 정점

문제

그림과 같이 임의로 그은 직선 ll이 yy축과 만나는 점을 A\mathrm{A}, 점 C(6,0)\mathrm{C} ( 6 , 0 )을 지나고 yy축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 B\mathrm{B}라 하자. 사다리꼴 OABC\mathrm{OABC}의 넓이가 곡선 f(x)=x3−6x2f ( x ) = x ^{3} - 6 x ^{2}과 xx축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 임의의 직선 ll은 항상 일정한 점 D\mathrm{D}를 지난다. 이 때, △ODC\mathrm{\triangle} ODC의 넓이를 구하시오. (단, AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}는 OC‾\displaystyle \mathrm{\overline{OC}}아래에 있다.) [4점]

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해설

[출제의도] 정적분을 이용한 수학내적 문제해결하기 직선을 y=mx+ny = mx + n 이라 두면 ∫06(x3−6x2−mx−n)dx=0\displaystyle \int _{0} ^{6} {( x ^{3} - 6 x ^{2} - mx - n ) dx = 0} 이므로 n=−3m−18n = - 3 m - 18 직선 y=mx−3m−18y = mx - 3 m - 18 m(x−3)−(y+18)=0m ( x - 3 ) - ( y + 18 ) = 0이고 mm에 관한 항등식이므로 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (x,y)=(3,−18)( x , y ) = ( 3 , - 18 ) 따라서 넓이는 5454

태그

#곡선과 x축 사이 넓이#정점

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