미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)사다리꼴 넓이 급수광고 영역 (상세 상단)문제모든 자연수 nnn에 대하여 좌표평면 위에 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}Pn을 다음 규칙에 따라 정한다.(가) 점 P1\mathrm{P} _{1}P1의 좌표는 (1,1)\left( 1 , 1 \right)(1,1)이다. (나) 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}Pn의 xxx좌표는 nnn이다. (다) 두 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}Pn, Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}Pn+1을 지나는 직선의 기울기는 12n\displaystyle \frac{1}{2 ^{n}}2n1이다.두 직선 x=nx = nx=n, x=n+1x = n + 1x=n+1과 선분 PnPn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}PnPn+1, xxx축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 ana _{n}an이라 하자. 무한급수 ∑n=1∞(an−α)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \alpha \right)n=1∑∞(an−α)가 수렴할 때, 상수 α\alphaα의 값은? [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}23②74\displaystyle \frac{7}{4}47③222④94\displaystyle \frac{9}{4}49⑤333정답 보기③자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설[출제의도] 무한급수 수렴조건 활용하여 추론하기Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}Pn의 yyy좌표를 yny _{n}yn이라 하면 yn=1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=2−12n−1\displaystyle y _{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}yn=1+21+(21)2+⋯+(21)n−1=2−2n−11이다. an=12(yn+yn+1)\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \left( y _{n} + y _{n+1} \right)an=21(yn+yn+1) =12(4−12n−1−12n)=2−32n+1\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 4 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} - \frac{1}{2 ^{n}} \right) = 2 - \frac{3}{2 ^{n+1}}=21(4−2n−11−2n1)=2−2n+13이다. 무한급수 ∑n=1∞(an−α)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \alpha \right)n=1∑∞(an−α)가 수렴하면 limn→∞(an−α)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( a _{n} - \alpha \right) = 0n→∞lim(an−α)=0이고 limn→∞an=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 2n→∞liman=2이다. 따라서 α=2\alpha = 2α=2태그#급수의 수렴 조건#등비수열비슷한 문제 더 보기미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로
