사차식의 근 보기 판단

[출제의도] 인수분해를 활용하여 추론하기 ㄱ. $\displaystyle P \left( \sqrt{n} \right) = \left( \sqrt{n} \right) ^{4} + \left( \sqrt{n} \right) ^{2} - n ^{2} - n = 0$ (참) ㄴ. $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - n \right) \left( x ^{2} + n + 1 \right)$이므로 방정식 $P \left( x \right) = 0$은 $\displaystyle x = \sqrt{n}$, $\displaystyle x = - \sqrt{n}$만을 실근으로 가진다. 따라서 실근의 개수는 $2$ (참) ㄷ. 모든 정수 $k$에 대하여 $P \left( k \right) = \left( k ^{2} - n \right) \left( k ^{2} + n + 1 \right)$에서 $k ^{2} + n + 1 > 0$이고, ${\mathrm{P}} \left( k \right) \ne 0$을 만족시키려면 $n \ne k ^{2}$이어야 하므로 $n$은 완전제곱수가 아닌 정수이다. 그러므로 $n$의 값은 $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $8$ 따라서 모든 $n$의 값의 합은 $31$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ