사차식 인수분해

[출제의도] 특수한 사차다항식의 인수분해를 한다. $\begin{aligned} x ^{4} - 8 x ^{2} + 16 & = \left( x ^{2} \right) ^{2} - 8 \left( x ^{2} \right) + 16 \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = \left( x ^{2} - 4 \right) ^{2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \end{aligned}$ 이때 $a > b$이므로 $a = 2 , b = - 2$ $\displaystyle \frac{2012}{a - b} = \frac{2012}{2 - ( - 2 )} = 503$ [다른 풀이1] 치환을 이용한 방법 $x ^{2} = t$로 놓으면 $\begin{aligned} x ^{4} - 8 x ^{2} + 16 & = t ^{2} - 8 t + 16 \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = \left( t - 4 \right) ^{2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = \left( x ^{2} - 4 \right) ^{2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} & = \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \end{aligned}$ 이때 $a > b$이므로 $a = 2$, $b = - 2$ $\displaystyle \frac{2012}{a - b} = \frac{2012}{2 - ( - 2 )} = 503$ [다른 풀이2] 항등식의 성질을 이용한 방법 $\begin{aligned} x ^{4} - 8 x ^{2} + 16 & = \left( x + a \right) ^{2} \left( x + b \right) ^{2} \end{aligned}$ 는 $x$에 관한 항등식이므로 양변에 $x = - a$를 대입하면 $a ^{4} - 8 a ^{2} + 16 = 0$ $\left( a ^{2} - 4 \right) ^{2} = 0$ $a ^{2} = 4$ $\therefore a = \pm 2$ 같은 방법으로 양변에 $x = - b$를 대입하면 $b ^{2} = 4$ $\therefore b = \pm 2$ 문제의 조건 $a > b$에 의하여 $a = 2$, $b = - 2$ 따라서 $\displaystyle \frac{2012}{a - b} = \frac{2012}{2 - ( - 2 )} = 503$