사차식 곱 함수의 미분계수와 최솟값

$f' ( - 1 ) = 3 ( - 1 ) ( 1 ) ( 2 ) = a$이므로 $a = - 6$이며, $\displaystyle t = x ^{3} , \frac{dt}{dx} = 3 x ^{2}$이므로$( t = x ^{3}$이 1-1대응 함수이며 증가함수$)$ $f' ( t ) = ( 4 t ^{3} + 18 t ^{2} + 22 t + 6 ) \cdot 3 x ^{2}$이며, 이때 $3 x ^{2} \geq 0$이므로 $2 t ^{3} + 9 t ^{2} + 11 t + 3$의 부호를 살펴보자. $2 t ^{3} + 9 t ^{2} + 11 t + 3 = ( 2 t + 3 ) ( t ^{2} + 3 t + 1 )$이므로 $t ^{2} + 3 t + 1 = 0$의 한 근을 $\alpha$라 하면, $y = f ( t )$는 $t = \alpha$일 때, 최솟값을 갖는다. 따라서 $f ( \alpha ) = \alpha ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) ( \alpha + 3 ) = ( \alpha ^{2} + 3 \alpha ) ( \alpha ^{2} + 3 \alpha + 2 )$ $= - 1 ( \because \alpha ^{2} + 3 \alpha + 1 = 0 )$ 즉 $b = - 1$이다. 그러므로 $a ^{2} + b ^{2} = 37$