사차함수와 극댓값 최솟값

[출제의도] 미분법을 활용하여 극솟값의 최솟값을 구할 수 있는가? (가) $\displaystyle f ( x ) = \frac{g ( x )}{x - a} ( x > a )$는 두 점 $( x , g ( x ) )$, $( a , 0 )$을 지나는 직선의 기울기이다. (나) 직선의 기울기 $f ( x )$가 극대인 곳, 즉 기울기가 커지다가 작아지는 곳은 접점이다. $( a , 0 )$을 지나면서 $x = \alpha , \beta$에서 접선의 기울기가 $M$으로 같아지려면 공통접선이어야 한다. 곡선 $y = g ( x )$의 그래프는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각해보면 $\mathrm{i} )$

함수 $y = g ( x )$의 그래프가 위의그림과 같을 때, 함수 $y = g ( x )$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 값은 $3$개다 이때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프도 극대 또는 극소가 되는 $x$의 값은 $3$개이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. $\mathrm{ii} )$

함수 $y = g ( x )$의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수 $y = g ( x )$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 값은 $1$개다. 이때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 극대 또는 극소가 되는 $x$의 값이 $3$개 이므로 조건 (다)를 만족시킨다. $\mathrm{i} ) , ii )$에서 $y = g ( x )$와 $y = M ( x - a )$가 $x = \alpha , \beta$에서 접하므로 방정식 $g ( x ) = M ( x - a )$는 중근을 가진다. $g ( x ) - M ( x - a ) = - ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2}$ $g' ( x ) - M = - 2 ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ^{2} - 2 ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta )$ $\displaystyle g' ( x ) = M - 4 ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \left( x - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ $g' ( x ) = 0$을 만족하는 실근의 개수는 1개 또는 2개 이어야 한다. 그러므로 $\displaystyle M = 4 ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \left( x - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ 의 교점이 1개 또는 2개이다. $\displaystyle h ( x ) = 4 ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \left( x - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ 라고 하면

따라서 $M$의 최솟값은 함수 $h ( x )$의 극댓값이다. $\displaystyle \beta - \alpha = 6 \sqrt{3}$이므로, $\displaystyle \alpha = - 3 \sqrt{3} , \beta = 3 \sqrt{3}$으로 생각하여 극댓값을 구해보면 $h ( x )' = 12 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 0$ 에서 $x = - 3 , x = 3$ 따라서 구하는 극댓값은 $h ( - 3 ) = 216$