미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차함수와 두 접점

문제

그림과 같이 일차함수 $y = f ( x )$ 의 그래프와 최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $y = g ( x )$ 의 그래프는 $x$ 좌표가 $- 2$ , $1$ 인 두 점에서 접한다. 함수 $h ( x ) = g ( x ) - f ( x )$ 라 할 때, 함수 $h ( x )$ 의 극댓값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{81}{16}$ ② $\displaystyle \frac{83}{16}$ ③ $\displaystyle \frac{85}{16}$ ④ $\displaystyle \frac{87}{16}$ ⑤ $\displaystyle \frac{89}{16}$

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극대․극소 이해하기 $h ( x ) = g ( x ) - f ( x ) = ( x + 2 ) ^{2} ( x - 1 ) ^{2}$ $h' ( x ) = 2 ( x + 2 ) ( x - 1 ) ( 2 x + 1 )$

$x$	$\cdots$	$- 2$	$\cdots$	$\displaystyle - \frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$h' ( x )$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h ( x )$	$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

따라서 $\displaystyle h \left( - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} \cdot \left( - \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{81}{16}$

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