사차함수와 등차 근

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 세 실근 $\alpha , 0 , \beta$$\left( \alpha < 0 < \beta \right)$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 ${}$$\beta$$= \mathit{-} \alpha$ $f' \left( x \right)$$= 4 x \left( x - \alpha \right) \left( x + \alpha \right)$ $f \left( x \right)$$= x ^{4} - 2 \alpha ^{2} x ^{2} + C$ (단, $C$는 적분상수이다.) $f \left( - x \right)$$= f \left( x \right)$이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이고, 조건 (가)에 의하여 $f \left( 0 \right)$$= 9$, $C$$= 9$ 조건 (나)에 의하여 $f \left( \alpha \right)$$= \alpha ^{4} - 2 \alpha ^{4} + 9$$= \mathit{-} 16$ $\alpha$$\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{5}$ 함수 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = 4 x \left( x - \sqrt{5} \right) \left( x + \sqrt{5} \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $g \left( x \right)$$= \left| f' \left( x \right) \right| - f' \left( x \right)$이므로 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} 0 & \left( f' \left( x \right) \geq 0 \right) \\ \begin{aligned} \\ - 2 f' \left( x \right) \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( f' \left( x \right) < 0 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이고, 함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle \int _{0} ^{10} {} g \left( x \right) dx$$\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{\sqrt{5}} {} f' \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \mathit{-} 2 \left[ \begin{array}{l} f \left( x \right) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\sqrt{5}}$$\displaystyle = \mathit{-} 2 \left\{ f \left( \sqrt{5} \right) - f \left( 0 \right) \right\}$ $= \mathit{-} 2 \times \left( - 16 - 9 \right)$$= 50$