미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사차함수의 극솟값

문제

정수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + 10$ 이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.


	(가) 모든 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\displaystyle \int _{- \alpha} ^{\alpha} {f \left( x \right)} dx = 2 \int _{0} ^{\alpha} {f \left( x \right)} dx$ (나) $- 6 < f' \left( 1 \right) < - 2$

이때, 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 극솟값은? [4점] ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

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②

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해설

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 조건 (가)에 의해 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프는 $y$ 축 대칭이므로 $f \left( x \right) = x ^{4} + bx ^{2} + 10$ $f' \left( x \right) = 4 x ^{3} + 2 bx$ , $f' ( 1 ) = 4 + 2 b$ 이므로 $- 6 < 4 + 2 b < - 2$ $- 10 < 2 b < - 6$ $- 5 < b < - 3$ 이므로 $b = - 4$ $f \left( x \right) = x ^{4} - 4 x ^{2} + 10$ $\displaystyle f' \left( x \right) = 4 x ^{3} - 8 x = 4 x \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x - \sqrt{2} \right)$

$x$	$\cdots$	$\displaystyle - \sqrt{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\displaystyle \sqrt{2}$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f \left( x \right)$	↘	극소	↗	극대	↘	극소	↗

극솟값은 $\displaystyle f \left( - \sqrt{2} \right) = f \left( \sqrt{2} \right) = 6$

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