사차함수 위의 접선부등식과 t의 최댓값

사차함수 $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 1 \right) ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , f \left( t \right) \right)}$에서의 접선의 방정식 $y = f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 에 대하여 $- 1 \leq x \leq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f \left( x \right) \leq f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$가 성립하므로 주어진 구간에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\mathrm{P}$에서의 접선에 접하거나 아래 그림처럼 접선의 방정식 아래에 놓여야 한다.

접점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표 $t$의 값이 최대인 경우는 ㉡의 접선의 방정식이 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지나는 경우이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$와 $\left( 1 , 0 \right)$을 지나는 직선의 기울기와 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기가 같아야 하므로 ㉠에서 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' \left( x \right)$$= 4 x \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$$= 4 x ^{3} - 4 x$ 이므로 $\displaystyle \frac{f \left( t \right)}{t - 1} = f' \left( t \right)$, $f \left( t \right) = \left( t - 1 \right) f' \left( t \right)$ $t ^{4} - 2 t ^{2} + 1 = \left( t - 1 \right) \left( 4 t ^{3} - 4 t \right)$ $3 t ^{4} - 4 t ^{3} - 2 t ^{2} + 4 t - 1 = 0$, $\left( t - 1 \right) ^{2} \left( t + 1 \right) \left( 3 t - 1 \right) = 0$ $t = 1$ 또는 $t = - 1$ 또는 $\displaystyle t = \frac{1}{3}$ 그런데 점 $\mathrm{P}$는 열린구간 $\left( - 1 , 1 \right)$에 있으므로 구하는 실수 $t$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.