미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사차함수 실근

문제

세 실수 $a , b , c$ 에 대하여 사차함수 $f ( x )$ 의 도함수 $f' ( x )$ 가 $f' ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c )$ 일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>

ㄱ. $a = b = c$ 이면, 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 실근을 갖는다. ㄴ. $a = b \ne c$ 이고 $f ( a ) < 0$ 이면, 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. $a < b < c$ 이고 $f ( b ) < 0$ 이면, 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. <반례> $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{4} ( x - 1 ) ^{4} + 1$ 이면 $f' ( x ) = ( x - 1 ) ^{3}$ 이지만 $f ( x ) = 0$ 의 근은 없다. (거짓) ㄴ. $y = f ( x )$ 의 그래프의 개형은 아래와 같으므로 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) $y = f ( x )$

ㄷ. $y = f ( x )$ 의 그래프의 개형은 아래와 같으므로 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) $y = f ( x )$

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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