사차함수 증감

$( - \infty , 0 )$에서 감소하고 $( 2 , \infty )$에서 증가하는 그래프가 되기 위한 $f' ( x )$의 그래프 개형은 $x = - 1$에서 접하는 그래프가 나와야 된다. $f' ( x ) = ( x + 1 ) ( x - \alpha ) ( x - \beta )$$( \alpha < \beta )$라 하면 $\alpha = - 1$ $a = - ( \alpha + \beta )$, $b = \alpha \beta$ $a ^{2} + b ^{2} = \alpha ^{2} + 2 \alpha \beta + \beta ^{2} + ( \alpha \beta ) ^{2}$$\displaystyle = 1 - 2 \beta + 2 \beta ^{2} = 2 \left( \beta - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle \beta = \frac{1}{2}$일 때 최소값을 갖고, $\beta = 2$일 때 최대값을 갖는다. $\displaystyle m = \frac{1}{2} , M = 5$ $\displaystyle \therefore M + m = \frac{11}{2}$