사차함수 근 보기

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $f \left( x \right) = f \left( - x \right)$이고 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이므로 $f \left( 0 \right) = c = 0$ $f \left( 1 \right) = a + b + 0 =$ $\displaystyle - \frac{3}{4}$, $f' \left( - 1 \right) =$ $- 4 a - 2 b = 1$ $\displaystyle a = \frac{1}{4}$, $b = - 1$ ㄱ. $f \left( 0 \right) = 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} x ^{4} - x ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{4} x ^{2} \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$ $\alpha = - 2$, $\beta = 0$, $\gamma = 2$ $f' \left( x \right) = x ^{3} - 2 x$ $f' \left( \alpha \right) = f' \left( - 2 \right) = - 4$ (참) ㄷ.

곡선 $y = - f \left( x \right)$위의 점 $\left( - 2 , 0 \right)$에서의 접선 $l _{1}$의 기울기는 $- f' \left( - 2 \right) = - \left( - 4 \right) = 4$ 점 $\left( - 2 , 0 \right)$에서 곡선 $y = - f \left( x \right)$에 그은 접선 중 하나를 $l _{2}$라 할 때, 접점을 $\displaystyle \left( t , - \frac{1}{4} t ^{4} + t ^{2} \right)$$\left( t \ne - 2 , 0 \right)$이라 하자. 직선 $l _{2}$의 기울기는 $- f' \left( t \right) = - \left( t ^{3} - 2 t \right) = - t ^{3} + 2 t$ 직선 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle y = \left( - t ^{3} + 2 t \right) \left( x - t \right) - \frac{1}{4} t ^{4} + t ^{2}$ 직선 $l _{2}$가 점 $\left( - 2 , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle 0 = \left( - t ^{3} + 2 t \right) \left( - 2 - t \right) - \frac{1}{4} t ^{4} + t ^{2}$ $t \left( 3 t - 4 \right) \left( t + 2 \right) ^{2} = 0$, $\displaystyle t = \frac{4}{3}$ $\displaystyle - f' \left( \frac{4}{3} \right) = - \left( \frac{4}{3} \right) ^{3} + 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{27}$ 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k \left( x + 2 \right)$의 교점의 개수는 (ⅰ) $\displaystyle 0 < k < \frac{8}{27}$일 때, $5$개 (ⅱ) $\displaystyle k = \frac{8}{27}$일 때, $4$개 (ⅲ) $\displaystyle \frac{8}{27} < k < 4$일 때, $3$개 (ⅳ) $k \geq 4$일 때, $2$개 그러므로 방정식 $\left| f \left( x \right) \right| = k \left( x + 2 \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 양수 $k$의 범위는 $\displaystyle \frac{8}{27} < k < 4$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ