미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차함수 극값 보기

문제

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

$f' ( x ) = 0$ 이 서로 다른 세 실근 $\alpha , \beta , \gamma$ $( \alpha < \beta < \gamma )$ 를 갖고, $f ( \alpha ) f ( \beta ) f ( \gamma ) < 0$ 이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

	[ 보 기 ]

ㄱ. 함수 $f ( x )$ 는 $x = \beta$ 에서 극대값을 갖는다. ㄴ. 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. $f ( \alpha ) > 0$ 이면 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 $\beta$ 보다 작은 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기

③

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ㄱ. $f' ( x ) = 0$ 은 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식이고, 서로 다른 세 실근을 가지므로, $y = f' ( x )$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$x = \beta$ 의 좌우에서 $f' ( x )$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $f ( x )$ 는 $x = \beta$ 에서 극대값을 갖는다. (참) ㄴ. 사차함수 $y = f ( x )$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서, $f ( \alpha ) f ( \beta ) f ( \gamma ) \prec 0$ 인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $f ( \alpha ) < 0 , f ( \beta ) < 0 , f ( \gamma ) < 0$

(ⅱ) $f ( \alpha ) < 0 , f ( \beta ) > 0 , f ( \gamma ) > 0$

(ⅲ) $f ( \alpha ) > 0 , f ( \beta ) > 0 , f ( \gamma ) < 0$

그러므로 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄷ. ㄴ의 (ⅲ)에서 방정식 $f ( x ) = 0$ 의 두 실근은 모두 $\beta$ 보다 크다. (거짓) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.