미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차함수 도함수 그래프

문제

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f ( x )$ 에 대하여 방정식 $f ( x ) = 0$ 이 서로 다른 두 실근 $p$ , $q$ $( p < q )$ 를 갖고, $y = f' ( x )$ 의 그래프는 그림과 같다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. 함수 $f ( x )$ 의 최솟값은 $f ( \beta )$ 이다. ㄴ. 방정식 $f' ( x ) - f ( x ) = 0$ 의 실근의 개수는 $1$ 이다. ㄷ. $x \geq \alpha$ 에서 함수 $\displaystyle S ( x ) = \int _{\alpha} ^{x} f ( t ) dt$ 의 최솟값은 $S ( q )$ 이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

[출제의도] 도함수를 이용하여 사차함수의 그래프의 성질을 파악할 수 잇는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $f' ( x ) < 0$ 이면 $f ( x )$ 는 감소하고, $f' ( x ) > 0$ 이면 $f ( x )$ 는 증가하므로 $f ( \beta )$ 가 최솟값이다. (참) ㄴ. (반례) $f ( \alpha ) < 0$ 이면 $2$ 개 이상의 실근을 갖는다. (거짓) ㄷ. (반례) $S ( q ) > 0$ 이면 최솟값은 존재하지 않는다. (거짓)

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