사차함수 도함수 보기

[출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기 ㄱ. $f' \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 함수 $y = f' \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다. $f' \left( 0 \right) = 0$이고 $x = 0$의 좌우에서 $f' \left( x \right)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극댓값을 갖는다. (참)

$\alpha$ $\beta$ $y = f' ( x )$

ㄴ. $\alpha = \mathit{-} \beta$에 의하여 $f' \left( x \right) = k \left( x - \beta \right) x \left( x + \beta \right)$$= kx ^{3} - k \beta ^{2} x$($k > 0$) $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{k}{4} x ^{4} - \frac{k \beta ^{2}}{2} x ^{2} + C$(단, $C$는 적분상수) 따라서 $f \left( x \right)$는 $y$축에 대하여 대칭인 함수이므로 $f \left( - \beta \right) = \mathit{f} \left( \beta \right)$ $\displaystyle S = \int _{\alpha} ^{0} {\left| f' \left( x \right) \right| dx = \int _{- \beta} ^{0} {f' \left( x \right)} dx = f \left( 0 \right) - f \left( - \beta \right)}$ $\displaystyle T = \int _{0} ^{\beta} {\left| f' \left( x \right) \right| dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{\beta} {\left\{ - f' \left( x \right) \right\} dx}$$= \mathit{-} f \left( \beta \right) + f \left( 0 \right)$ 따라서 $S = T$ (참) ㄷ. $S < T$, $f \left( \alpha \right) = 0$이므로 $f \left( 0 \right) - f \left( \alpha \right) < \mathit{-} f \left( \beta \right) + f \left( 0 \right)$에서 $f \left( \beta \right) < 0$ 함수 $f \left( x \right)$는 $x = \alpha$, $x = \beta$에서 극솟값, $x = 0$에서 극댓값을 갖는다. $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

$\alpha$ $\beta$ $y = f ( x )$

방정식 $f \left( x \right) = 0$의 양의 실근의 개수는 $2$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ