사차함수 도함수 보기

[출제의도] 미적분의 기본정리를 이용하여 다항함수 추론하기 ㄱ. $x = 4$의 좌우에서 $f' ( x )$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $x = 4$에서 극솟값을 갖는다. (참) ㄴ. 사차함수 $f ( x )$는 구간 $\left( a , t \right)$에서 미분가능하고 구간 $[ a , t ]$에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a} = f' ( c )$ 인 $c$가 구간 $\left( a , t \right)$에 존재한다. 또한 사차함수 $f ( x )$는 구간 $( t , b )$에서 미분가능하고 구간 $[ t , b ]$에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f ( t ) - f ( b )}{t - b} = \frac{f ( b ) - f ( t )}{b - t} = f' ( d )$ 인 $d$가 구간 $( t , b )$에 존재한다. 함수 $f' \left( x \right)$가 구간 $\left( a , b \right)$에서 감소하고 $a < c < t < d < b$이므로 $f' \left( c \right) > f' \left( d \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a} = f' ( c ) > f' ( d ) = \frac{f ( b ) - f ( t )}{b - t}$ 이다. (참) ㄷ. 함수 $h \left( x \right)$를 $h \left( x \right) = f \left( x \right) - f \left( a \right)$라 하자. 주어진 조건에 의하여 함수 $y = h \left( x \right)$는 $x = 0 , b , 4$일 때 극값을 갖는다. $\displaystyle 0 = \int _{a} ^{4} {f' \left( x \right) dx} = f \left( 4 \right) - f \left( a \right)$이므로 $h \left( 4 \right) = 0$ 함수 $h \left( x \right)$의 그래프의 모양은

$y = h \left( x \right)$

이므로 곡선 $y = h \left( x \right)$와 $x$축은 서로 다른 세 점에서 만난다. 그러므로 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = f \left( a \right)$는 서로 다른 세 점에서 만난다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ