사차함수 도함수 보기

[출제의도] 조건을 만족시키는 사차함수의 그래프와 도함수의 그래프를 이용하여 참 거짓을 판별할 수 있는가? 두 조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 도함수 $y = f' ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. 함수 $y = f' ( x )$의 그래프에서 함수 $y = f' ( x )$의 그래프와 $x$축은 열린구간 $( k , 2 )$에서 만난다. 즉, 방정식 $f' ( x ) = 0$은 열린구간 $( 0 , 2 )$에서 한 개의 실근을 갖는다. (참) ㄴ. 함수 $y = f ( x )$의 그래프에서 함수 $f ( x )$는 극솟값을 갖는다. (거짓) ㄷ. $f ( 0 ) = 0$이면 양수 $a$에 대하여 $f ( x ) = x ^{3} ( x - a )$로 놓을 수 있다. $f ( x ) = x ^{4} - ax ^{3}$에서 $f' ( x ) = 4 x ^{3} - 3 ax ^{2}$이고 $f' ( 2 ) = 32 - 12 a = 16$에서 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$ 즉, $\displaystyle f ( x ) = x ^{3} \left( x - \frac{4}{3} \right)$ 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극솟값 $\displaystyle - \frac{1}{3}$을 가지므로 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \geq - \frac{1}{3}$이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.