사차함수 차의 결정

[출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 최고차항의 계수가 1인 두 사차함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 세 점의 $x$ 좌표가 $- 1$, $0$, $2$이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = a \left( x + 1 \right) x \left( x - 2 \right) ( a \ne 0 )$ 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx = 4 - 12 = - 8}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx = \int _{0} ^{2} {\left\{ a \left( x + 1 \right) x \left( x - 2 \right) \right\} dx}}$ $\displaystyle = a \int _{0} ^{2} {\left( x ^{3} - x ^{2} - 2 x \right) dx}$$\displaystyle = a \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = a \left( 4 - \frac{8}{3} - 4 \right) = - \frac{8}{3} a = - 8$ $a = 3$이므로 $f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x + 1 ) x ( x - 2 )$ $f ( 3 ) - g ( 3 ) = 36$