사차함수 부호 조건

[출제의도] 부정적분을 이용하여 실근이 존재하는 구간을 추측한다. 함수 $f' \left( x \right)$는 삼차함수이고 $f' \left( 0 \right)$$\displaystyle = f' \left( \sqrt{2} \right) = f' \left( - \sqrt{2} \right) = 0$이므로 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = k x \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x - \sqrt{2} \right)$ $= k x \left( x ^{2} - 2 \right)$$= k x ^{3} - 2 k x$ (단, $k$는 상수) $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{k}{4} x ^{4} - k x ^{2} + C$ (단, $C$는 적분상수) $f \left( 0 \right) = C = 1$ $\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) = k - 2 k + C = - k + 1 = - 3$이므로 $k = 4$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{4} - 4 x ^{2} + 1$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$f \left( - 2 \right) = f \left( 2 \right) = 1 > 0$, $f \left( - 1 \right) = f \left( 1 \right) = - 2 < 0$이므로 $f \left( m \right) f \left( m + 1 \right) < 0$을 만족시키는 정수는 $- 2$, $- 1$, $0$, $1$이다. 따라서 $f \left( m \right) f \left( m + 1 \right) < 0$을 만족시키는 모든 정수 $m$의 값의 합은 $- 2$