사차함수 보기

[출제의도] 도함수와 함수의 조건을 이용하여 함수의 그래프의 개형을 추론한다. 조건 (나)에서 $\left| f \left( x \right) \right| \geq 0$이므로 방정식 $\left| f \left( x \right) \right| = f \left( 0 \right)$이 실근을 갖지 않으려면 $f \left( 0 \right) < 0$이어야 한다. ㄱ. $a = 0$이면 조건 (가)에서 $f' \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 2 \right)$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄴ. (반례) $0 < a < 2$이고 $f \left( a \right) > 0$일 때, $f ( 2 ) > 0$이면 그림과 같이 방정식 $f ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (거짓)

ㄷ. 함수 $\left| f \left( x \right) - f \left( 2 \right) \right|$가 $x = k$에서만 미분가능하지 않으려면 $\displaystyle f \left( x \right) - f \left( 2 \right) = \frac{1}{4} \left( x - k \right) \left( x - 2 \right) ^{3}$이어야 한다. 또, $f' \left( 0 \right)$$= 0$이므로 함수 $y = \left| f \left( x \right) - f \left( 2 \right) \right|$의 그래프는 다음과 같다.

이때 함수 $\left| f \left( x \right) - f \left( 2 \right) \right|$는 $k < 0$인 실수 $k$에 대하여 $x = k$에서만 미분가능하지 않다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.