사차곡선의 두 점에서 접하는 직선

구하는 직선의 방정식을 $g ( x ) = mx + n$이라 하면 $f ( x ) - g ( x ) = 0$은 서로 다른 두 중근을 갖는다. 즉, $f ( x ) - g ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2}$꼴이다. ($\alpha$, $\beta$는 서로 다른 실수) 이때, $f ( x ) - g ( x )$의 $x ^{3}$의 계수가 $0$이므로 $\alpha + \beta = 0$이어야 한다. 이때, 좌변 $f ( x ) - g ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2}$이 짝함수이므로 우변도 짝함수이어야 한다. 따라서 $m = 6$이다. (∵ $x$의 홀수차수항이 없어야 하므로) 이때, $f ( x ) - g ( x )$$= x ^{3} - 3 x ^{2} + 1 - n$이고 $( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2}$$= ( x - \alpha ) ^{2} ( x + \alpha ) ^{2} = x ^{4} - 2 \alpha ^{2} x ^{2} + \alpha ^{4}$ 이므로 계수비교법에 의해서 $2 \alpha ^{2} = 3$이고 $1 - n = \alpha ^{4}$이다. ∴ $n = 1 - \alpha ^{4}$$\displaystyle = 1 - \left( \frac{3}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle - \frac{5}{4}$ ∴ $\displaystyle g ( x ) = 6 x - \frac{5}{4}$