공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차방정식의 허근 거듭제곱의 합

문제

방정식 x4−3x3+4x2−3x+1=0x ^{4} - 3 x ^{3} + 4 x ^{2} - 3 x + 1 = 0의 두 허근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, α2008+β2008\alpha ^{2008} + \beta ^{2008}의 값은? ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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② −1- 1

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해설

준 식을 인수분해하면 (x−1)2(x2−x+1)=0( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 ) = 0 따라서 두 허근 α,β\alpha , \beta는 방정식 x2−x+1=0x ^{2} - x + 1 = 0의 근이다. 근과 계수와의 관계에 의하여 α+β=1,αβ=1\alpha + \beta = 1 , \alpha \beta = 1 ∴α3=−1,β3=−1\therefore \alpha ^{3} = - 1 , \beta ^{3} = - 1 따라서 α2008+β2008=(α3)669α+(β3)β=−α−β=−1\alpha ^{2008} + \beta ^{2008} = \left( \alpha ^{3} \right) ^{669} \alpha + \left( \beta ^{3} \right) \beta = - \alpha - \beta = - 1

태그

#사차방정식#허근#근과 계수의 관계

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