사차방정식 실근 조건

[출제의도] 사차방정식 해의 성질을 활용하여 문제해결하기 $x ^{2} = t$($t \geq 0$)라 하면 주어진 사차방정식은 $t ^{2} - 9 t + k - 10 = 0$이므로 $t$에 대한 이차방정식이다. 즉, 방정식 $t ^{2} - 9 t + k - 10 = 0$의 두 실근이 $0$이상이어야 한다. 따라서 판별식을 $D$라 하면 $D \geq 0$, (두 근의 합)$\geq 0 ,$ (두 근의 곱)$\geq 0$이어야 한다. $D = 9 ^{2} - 4 ( k - 10 ) \geq 0$이므로 $\displaystyle k \leq \frac{121}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (두 근의 합)$= 9 \geq 0$이므로 $k$의 값에 관계없이 성립한다. $\cdots$$\cdots$ ㉡ 두 근의 곱 $k - 10 \geq 0$이므로 $k \geq 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의해 $\displaystyle 10 \leq k \leq \frac{121}{4}$이므로 모든 근이 실수가 되도록 하는 자연수 $k$는 $10 , 11 , \cdots , 30$ 이므로 $k$의 개수는 $21$이다.