미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차방정식 실근 개수

문제

방정식 3x4−4x3−12x2+k=03 x ^{4} - 4 x ^{3} - 12 x ^{2} + k = 0이 서로 다른 4\mathrm{4}개의 실근을 갖도록 하는 자연수 kk의 개수를 구하시오. [3점]

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해설

y=f(x)=−3x4+4x3+12x2y = f ( x ) = - 3 x ^{4} + 4 x ^{3} + 12 x ^{2}과 y=ky = k의 교점 개수가 실근의 개수 f′(x)=−12x3+12x2+24x=−12x(x2−x−2)f' ( x ) = - 12 x ^{3} + 12 x ^{2} + 24 x = - 12 x ( x ^{2} - x - 2 ) =−12x(x+1)(x−2)= - 12 x ( x + 1 ) ( x - 2 ) f(0)=0,f(−1)=5,f(2)=−48+32+48=32f ( 0 ) = 0 , f ( - 1 ) = 5 , f ( 2 ) = - 48 + 32 + 48 = 32 얻어진 극점으로 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

∴0<k<5\therefore 0 < k < 5이므로 44개

태그

#방정식의 실근#그래프

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