사차방정식 실근 빈칸

다음은 양수 $a$와 다항식 $P \left( x \right) = x ^{4} - 4 x ^{2} - a ^{4} + 4 a ^{2}$에 대하여 방정식 $P \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 $a$의 값의 범위를 구하는 과정이다.

다항식 $P \left( x \right)$를 인수분해하면 $P \left( x \right) = \left( x + a \right) \left( x - a \right) \left\{ x ^{2} - \left( \square {\left( \text{가} \right)} \right) \right\}$ 이고, $Q \left( x \right) = x ^{2} - \left( \square {\left( \text{가} \right)} \right)$라 하면 $P \left( x \right) = \left( x + a \right) \left( x - a \right) Q \left( x \right)$이다. $a \neq 0$이므로 $a$, $- a$는 방정식 $P \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근이다. 방정식 $Q \left( x \right) = 0$이 중근을 갖는 경우에는 $\square {\left( \text{가} \right)} = 0$이므로 방정식 $P \left( x \right) = 0$은 서로 다른 세 실근 $- a$, $0$, $a$를 갖는다. 따라서 방정식 $P \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 경우는 다음 두 가지이다. (ⅰ) 방정식 $Q \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 $Q \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근은 $a$, $- a$이므로 $a = \square {\left( \text{나} \right)}$ (ⅱ) 방정식 $Q \left( x \right) = 0$이 실근을 갖지 않는 경우 $\square {\left( \text{가} \right)} < 0$ $\cdots$$\cdots$ (*) 이므로 부등식 (*)의 해를 구하면 $a > \square {\left( \text{다} \right)}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 방정식 $P \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 $a$의 값의 범위는 $a = \square {\left( \text{나} \right)}$ 또는 $a > \square {\left( \text{다} \right)}$

위의 (가)에 알맞은 식을 $f \left( a \right)$라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $f \left( p \right) \times q$의 값은? [4점] ①$1$②$2$③$3$④$4$⑤$5$