사차방정식 네 근의 곱

[출제의도] 인수정리를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 사차방정식의 근을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 사차식 $x ^{4} + ax ^{2} + b$가 이차식 $\displaystyle ( x - 1 ) ( x - \sqrt{2} )$로 나누어 떨어지므로, $x = 1$, $\displaystyle x = \sqrt{2}$는 사차방정식 $x ^{4} + ax ^{2} + b = 0$의 근이다. $x = 1$, $\displaystyle x = \sqrt{2}$를 각각 $x ^{4} + ax ^{2} + b = 0$에 대입하면 $a + b = - 1$, $2 a + b = - 4$ 두 식을 연립하여 풀면 $a = - 3$, $b = 2$ $x ^{4} + ax ^{2} + b = x ^{4} - 3 x ^{2} + 2$$= ( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - 2 ) = 0$ $x ^{2} - 1 = 0$ 또는 $x ^{2} - 2 = 0$ ∴ $x = \pm 1$, $\displaystyle x = \pm \sqrt{2}$ 따라서 구하는 네 근의 곱은 $2$이다.