공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사차방정식 나머지 두 근

문제

사차방정식 x4−x3+ax+b=0x ^{4} - x ^{3} + ax + b = 0의 두 근이 11, −2- 2일 때, 나머지 두 근 α\alpha, β\beta에 대하여 ∣α4+β4∣| \alpha ^{4} + \beta ^{4} |의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 상수이다) [4점]

정답 보기
16

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 고차식의 인수분해 및 근과 계수와의 관계를 이해하기

1-10aabb
1100aa
100aaaa+bb=0
-2-24-8
1-24aa-8=0

∴a=8,b=−8\therefore a = 8 , b = - 8 x2−2x+4=0x ^{2} - 2 x + 4 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이므로 α+β=2,αβ=4\alpha + \beta = 2 , \alpha \beta = 4 α4+β4={(α+β)2−2αβ}2−2(αβ)2=−16\alpha ^{4} + \beta ^{4} = \left\{ ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta \right\} ^{2} - 2 ( \alpha \beta ) ^{2} = - 16 ∴∣α4+β4∣=16\therefore | \alpha ^{4} + \beta ^{4} | = 16 [다른풀이] x2−2x+4=0x ^{2} - 2 x + 4 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이므로 α2−2α+4=0\alpha ^{2} - 2 \alpha + 4 = 0 이고, β2−2β+4=0\beta ^{2} - 2 \beta + 4 = 0이므로 α2=2α−4\alpha ^{2} = 2 \alpha - 4 이고, β2=2β−4\beta ^{2} = 2 \beta - 4이다. 따라서, α3=2α2−4α\alpha ^{3} = 2 \alpha ^{2} - 4 \alpha=−8= - 8이고, β3=2β2−4β\beta ^{3} = 2 \beta ^{2} - 4 \beta=−8= - 8이므로 α4+β4=−8(α+β)=−8×2=−16\alpha ^{4} + \beta ^{4} = - 8 ( \alpha + \beta ) = - 8 \times 2 = - 16 ∴∣α4+β4∣=16\therefore | \alpha ^{4} + \beta ^{4} | = 16

태그

#사차방정식#근과 계수의 관계

비슷한 문제 더 보기

공통수학1 문제 모음공통수학1 여러 가지 방정식 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로