사차방정식 허근 개수 빈칸

다음은 $x$에 대한 방정식 $\left( x ^{2} + ax + a \right) \left( x ^{2} + x + a \right) = 0$ 의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$이기 위한 실수 $a$의 값의 범위를 구하는 과정이다.

(1) $a = 1$인 경우 주어진 방정식은 $\left( x ^{2} + x + 1 \right) ^{2} = 0$이다. 이 때, 방정식 $x ^{2} + x + 1 = 0$의 근은 $\displaystyle x = \frac{- 1 \pm \sqrt{{\square {( \text{가} )}} ^{}} i}{2}$ (단, $\displaystyle i = \sqrt{- 1}$)이므로 방정식 $\left( x ^{2} + x + 1 \right) ^{2} = 0$의 서로 다른 허근의 개수는 $2$이다. (2) $a \ne 1$인 경우 방정식 $x ^{2} + ax + a = 0$의 근은 $\displaystyle x = \frac{- a \pm \sqrt{{\square {( \text{나} )}} ^{}}}{2}$이다. (ⅰ) ${\square {( \text{나} )}} < 0$일 때, 방정식 $x ^{2} + x + a = 0$은 실근을 가져야 하므로 실수 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{4}$ 이다. (ⅱ) ${\square {( \text{나} )}} \geq 0$일 때, 방정식 $x ^{2} + x + a = 0$은 허근을 가져야 하므로 실수 $a$의 값의 범위는 $a \geq {\square {( \text{다} )}}$ 이다.

따라서 (1)과 (2)에 의하여 방정식 $\left( x ^{2} + ax + a \right) \left( x ^{2} + x + a \right) = 0$의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$이기 위한 실수 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{4}$ 또는 $a = 1$ 또는 $a \geq {\square {( \text{다} )}}$ 이다.

위의 $( \text{가} )$, (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 하고, (나)에 알맞은 식을 $f \left( a \right)$라 할 때, $p + q + f \left( 5 \right)$의 값은? [4점] ①$8$②$9$③$10$④$11$⑤$12$