공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사차방정식 허근

문제

사차방정식 (x2+x−1)(x2+x+3)−5=0\left( x ^{2} + x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 3 \right) - 5 = 0의 서로 다른 두 허근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, αα‾+ββ‾\displaystyle \alpha {\overline{\alpha}} + \beta {\overline{\beta}}의 값은? (단, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점] ①44②55③66④77⑤88

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⑤

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해설

[출제의도] 사차방정식의 근 이해하기 (x2+x−1)(x2+x+3)−5=0\left( x ^{2} + x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + 3 \right) - 5 = 0 (x2+x+4)(x2+x−2)=0\left( x ^{2} + x + 4 \right) \left( x ^{2} + x - 2 \right) = 0 α,β\alpha , \beta는 x2+x+4=0x ^{2} + x + 4 = 0의 서로 다른 두 허근이므로 αβ=4\alpha \beta = 4 α‾=β,\displaystyle \overline{\alpha} = \beta , β‾=α\displaystyle \overline{\beta} = \alpha이므로, αα‾+ββ‾=2αβ\displaystyle \alpha \overline{\alpha} + \beta \overline{\beta} = 2 \alpha \beta 따라서 αα‾+ββ‾=8\displaystyle \alpha \overline{\alpha} + \beta \overline{\beta} = 8

태그

#사차방정식#켤레복소수

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