미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사분원 원 반복 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD} 안에 꼭짓점 A\mathrm{A}, C\mathrm{C}를 중심으로 하고 선분 AB\mathrm{AB}, CD\mathrm{CD}를 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 두 꼭짓점 A\mathrm{A}, C\mathrm{C}로부터 두 사분원의 호와 원이 접하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 22개의 정사각형 안에 그림 R1R _{1}에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 22개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 44개의 정사각형 안에 그림 R1R _{1}에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 44개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에서 색칠된 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

…

①(3−22)π\displaystyle ( 3 - 2 \sqrt{2} ) \pi②(2−3)π\displaystyle ( 2 - \sqrt{3} ) \pi③(2−1)π\displaystyle ( \sqrt{2} - 1 ) \pi④(4−23)π\displaystyle ( 4 - 2 \sqrt{3} ) \pi⑤(2−2)π\displaystyle ( 2 - \sqrt{2} ) \pi

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③

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해설

[출제의도] 주어진 도형에서 무한등비급수의 합을 추측하여 구한다. R1R _{1}에 있는 원의 반지름의 길이는 2−2\displaystyle 2 - \sqrt{2}이므로 S1=(2−2)2π\displaystyle S _{1} = ( 2 - \sqrt{2} ) ^{2} \pi R2R _{2}에 있는 작은 정사각형의 한 변의 길이를 xx라 하면 AC‾=22x+2(2−2)=22\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 2 \sqrt{2} x + 2 ( 2 - \sqrt{2} ) = 2 \sqrt{2} x=2−2\displaystyle x = 2 - \sqrt{2} R1R _{1}에 있는 원과 R2R _{2}에 있는 작은 원의 넓이의 비는 22:(2−2)2\displaystyle 2 ^{2} : ( 2 - \sqrt{2} ) ^{2}=1:(1−22)2\displaystyle = 1 : \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} 따라서 RnR _{n}과 Rn+1R _{n + 1}에서 각각 새로 그려지는 두 원의 넓이의 비는 1:(1−22)2\displaystyle 1 : \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2}이고 원의 개수의 비는 1:21 : 2이다. 그러므로 구하는 무한급수의 합은 첫째항이 S1=(2−2)2π\displaystyle S _{1} = ( 2 - \sqrt{2} ) ^{2} \pi이고, 공비가 2(1−22)2=3−22\displaystyle 2 \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = 3 - 2 \sqrt{2}인 무한등비급수의 합과 같다. ∴lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=(2−2)2π1−(3−22)\displaystyle = \frac{( 2 - \sqrt{2} ) ^{2} \pi}{1 - ( 3 - 2 \sqrt{2} )}=(2−1)π\displaystyle = ( \sqrt{2} - 1 ) \pi

태그

#무한등비급수#닮음

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