미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사분원 속 정사각형 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 AB1C1D1\mathrm{AB} _{1} C _{1} D _{1} 안에 꼭짓점 C1\mathrm{C} _{1}을 중심으로 하고 선분 C1B1\mathrm{C} _{1} B _{1}을 반지름으로 하는 사분원을 그린다. 호 B1D1\mathrm{B} _{1} D _{1}을 이등분하는 점을 C2\mathrm{C} _{2}라 하고 삼각형 C2B1D1\mathrm{C} _{2} B _{1} D _{1}에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 선분 AB1\mathrm{AB} _{1} 위의 점 B2\mathrm{B} _{2}, 선분 AD1\mathrm{AD} _{1} 위의 점 D2\mathrm{D} _{2}와 두 점 A\mathrm{A}, C2\mathrm{C} _{2}를 꼭짓점으로 하는 정사각형 AB2C2D2\mathrm{AB} _{2} C _{2} D _{2}를 그리고, 정사각형 AB2C2D2\mathrm{AB} _{2} C _{2} D _{2} 안에 꼭짓점 C2\mathrm{C} _{2}를 중심으로 하고 선분 C2B2\mathrm{C} _{2} B _{2}를 반지름으로 하는 사분원을 그린다. 호 B2D2\mathrm{B} _{2} D _{2}를 이등분하는 점을 C3\mathrm{C} _{3}이라 하고 삼각형 C3B2D2\mathrm{C} _{3} B _{2} D _{2}에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①12−527\displaystyle \frac{12 - 5 \sqrt{2}}{7}②11−427\displaystyle \frac{11 - 4 \sqrt{2}}{7}③10−327\displaystyle \frac{10 - 3 \sqrt{2}}{7}④12−427\displaystyle \frac{12 - 4 \sqrt{2}}{7}⑤12−327\displaystyle \frac{12 - 3 \sqrt{2}}{7}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 R1R _{1}에서

선분 C1C2\mathrm{C} _{1} C _{2}와 선분 B1D1\mathrm{B} _{1} D _{1}이 만나는 점을 H\mathrm{H}라 하자. B1D1‾=22\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}} = 2 \sqrt{2} HC2‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HC} _{2}}}=C1C2‾−C1H‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{C} _{1} C _{2}}} - {\overline{\mathrm{C} _{1} H}}=2−2\displaystyle = 2 - \sqrt{2} 이므로 S1S _{1}=12×B1D1‾×HC2‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}} \times {\overline{\mathrm{HC} _{2}}}=12×22×(2−2)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \left( 2 - \sqrt{2} \right)=22−2\displaystyle = 2 \sqrt{2} - 2 다음은 그림 Rn+1R _{n+1}의 일부이다.

Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}} Dn+1\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}

ACn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 1}}}}}=ACn‾−Cn+1Cn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}}}}=ACn‾−BnCn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}}=ACn‾−22×ACn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} =2−22ACn‾\displaystyle = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} {\overline{\mathrm{AC} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}}} 이고 ACn‾=BnDn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}}} = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}}}이므로 ACn‾:ACn+1‾=BnDn‾:Bn+1Dn+1‾=1:2−22\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n} + 1}}} = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}}} = 1 : \frac{2 - \sqrt{2}}{2} 그러므로 그림 RnR _{n}과 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 얻어진 두 삼각형은 서로 닮음이고 닮음비가 1:2−22\displaystyle 1 : \frac{2 - \sqrt{2}}{2}이므로 넓이의 비는 1:3−222\displaystyle 1 : \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}이다. 그러므로 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 22−2\displaystyle 2 \sqrt{2} - 2이고 공비가 3−222\displaystyle \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=22−21−3−222=12−427\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{2 \sqrt{2} - 2}{1 - \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}} = \frac{12 - 4 \sqrt{2}}{7}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로