사분원 삼각형 넓이 극한

$\triangle {\mathrm{OAP}}$는 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{OPA}} = \theta$이고 $\angle {\mathrm{POQ}} = 2 \theta$이다. $\triangle {\mathrm{OAP}}$에 한 점$\mathrm{O}$에서 마주보는 변$\mathrm{CP}$에 수선의 발을 점 $\mathrm{M}$이라 두자. $\displaystyle \angle {\mathrm{COQ}} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{COP}} = \frac{\pi}{2} - 2 \theta$이다. 이등변삼각형의 꼭짓각은 밑변을 수직이등분하므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{MOP}} = \frac{\pi}{4} - \theta$ ($\angle {\mathrm{MOP}} = \angle {\mathrm{COM}} = \angle {\mathrm{ROS}}$ $\cdots \cdots$ ㉠)이고 $\triangle {\mathrm{OPS}}$의 한 외각인 $\displaystyle \angle {\mathrm{PSM}} = {\frac{\pi}{4}}$이다. 이때 $\angle \mathrm{CSP}$는 $\angle {\mathrm{PSM}}$의 $2$배이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = 2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RO}} = 2 \tan \theta$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CO}}$의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CO}} - \overline{\mathrm{RO}} = 2 - 2 \tan \theta$ $\triangle {\mathrm{AOR}}$과 $\triangle {\mathrm{CSR}}$은 $\angle {\mathrm{ORA}} = \angle {\mathrm{SRC}}$ $( \because$ 맞꼭짓각) $\angle {\mathrm{AOR}} = \angle {\mathrm{CSR}} = 90 ^\circ$ 이므로 $\mathrm{AA}$닮음이다. 따라서 $\angle {\mathrm{RAO}} = \angle {\mathrm{RCS}} = \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RS}} = ( 2 - 2 \tan \theta ) \sin \theta$ □$\mathrm{SOQR}$의 마주보고 있는 두 각인 $\angle {\mathrm{ROQ}}$와 $\angle {\mathrm{RSQ}}$의 합이 $\pi$이므로 □$\mathrm{SOQR}$은 원에 내접하는 사각형이다. 따라서 $\angle {\mathrm{ROS}}$와 $\angle {\mathrm{RQS}}$는 원주각으로 같고 $\displaystyle \frac{\pi}{4} - \theta$ ($\because$ ㉠)이다. $\therefore$ $S ( \theta )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 2 ^{2} \cdot ( 1 - \tan \theta ) ^{2} \cdot \sin ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right)}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\frac{2 ^{2} \cdot ( 1 - \tan \theta ) ^{2} \cdot \sin ^{2} \theta}{2 \cdot {\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right)} \cdot \theta ^{2}}}$$= 2$