사분원 정사각형 급수

무한등비급수이고, 모두 닮음도형이며, 초항$= 1$이기 때문에 ($\because$정사각형 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이$= 1$) 공비만 구해주면 된다. 주어진 무한수열의 공비는 첫 번째 정사각형의 한변의 길이만 구하면 구할 수 있다. i) <그림 1>에서 두 번째 정사각형의 한변의 길이를 $a$라 하면 $\mathrm{A} _{2} C _{2}$는 $\displaystyle \sqrt{2} a$이다. 그런데 이 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{H} H'} - \left( \overline{\mathrm{A} _{2} H'} + \overline{\mathrm{C} _{2} H} \right) = 1 - 2 \overline{\mathrm{A} _{2} H'}$로 구할 수 있다. 이 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} H'} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$($\because$삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{1} H$에서 $\displaystyle \mathrm{A} _{2} B _{1} = 1 , B _{1} H = \frac{1}{2}$인 직각삼각형)이므로 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{A} _{2} H'} = 2 - \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{H} H'} = 1 - ( 2 - \sqrt{3} ) = \sqrt{3} - 1 = \sqrt{2} a \rightarrow a = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$ 한편 이 무한등비급수는 넓이의 합을 묻고 있으므로 공비는 넓이비가 되고, 이는 곧 닮음비($=$길이비)의 제곱이 된다. 닮음비$\displaystyle = \frac{a}{1} = a$이므로 공비는 $a ^{2}$이 된다. $\displaystyle \therefore a ^{2} = \frac{( \sqrt{3} - 1 ) ^{2}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{1 - ( 2 - \sqrt{3} )} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ ii) <그림2>에서 빨간색 삼각형을 관찰하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{1}} = \overline{\mathrm{D} _{2} B _{1}} = 1 , \angle {\mathrm{A} _{2} B _{1} D _{2} = \frac{\pi}{6}}$이므로 주어진 삼각형에서 제2코사인 법칙을 쓰면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} D _{2}} ^{2} = 1 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos {\frac{\pi}{6}} = 2 - \sqrt{3}$ $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{1 - ( 2 - \sqrt{3} )} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$