사분원 정사각형 급수

[그림$1$]과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}}$인 사분원을 그리고, 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{D} _{2}$라 하자. 또 [그림$2$]와 같이 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}}$인 사분원을 그리고, 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} _{3}$, $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$, $\mathrm{D} _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 $n$에 대하여 정사각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{D}} _{n}$의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}}$인 사분원을 그리고, 정사각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{D}} _{n}$의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 ${\mathrm{A}} _{n+1}$, ${\mathrm{B}} _{n+1}$, ${\mathrm{C}} _{n+1}$, ${\mathrm{D}} _{n+1}$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 정사각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{D}} _{n}$의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$②$\displaystyle \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$③$\displaystyle \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$④$\displaystyle \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{3}$⑤$\displaystyle \frac{1 + 3 \sqrt{3}}{3}$