미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사분원 정사각형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 내부에 중심이 점 A1A _{1}이고 반지름의 길이가 각각 A1B1‾\displaystyle {\overline{A _{1} B _{1}}}, 12A1B1‾\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{A _{1} B _{1}}}인 두 개의 사분원의 호를 그려 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 내부에 있는 두 사분원의 호에 대하여 작은 호에 접하고 두 꼭짓점이 큰 호 위에 있는 정사각형 A2B2C2D2A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 그리고, 그 내부에 중심이 점 A2A _{2}이고 반지름의 길이가 각각 A2B2‾\displaystyle {\overline{A _{2} B _{2}}}, 12A2B2‾\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{A _{2} B _{2}}}인 두 개의 사분원의 호를 그려 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 있는 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을 LnL _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Ln\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} L _{n}의 값은? [4점]

①2(5+19)3\displaystyle \frac{2 ( 5 + \sqrt{19} )}{3}②2(7+19)3\displaystyle \frac{2 ( 7 + \sqrt{19} )}{3}③4(5+19)3\displaystyle \frac{4 ( 5 + \sqrt{19} )}{3}④4(7+19)3\displaystyle \frac{4 ( 7 + \sqrt{19} )}{3}⑤4(9+19)3\displaystyle \frac{4 ( 9 + \sqrt{19} )}{3}

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④

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해설

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-수열의 극한

그림과 같이 정사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하면 (12an+an+1)2+(12an+1)2=(an)2\displaystyle \left( \frac{1}{2} a _{n} + a _{n + 1} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} a _{n + 1} \right) ^{2} = ( a _{n} ) ^{2}에서 5an+12+4anan+1−3an2=05 a _{n + 1} ^{2} + 4 a _{n} a _{n + 1} - 3 a _{n} ^{2} = 0 an+1=−2an+4an2+15an25=−2+195an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{- 2 a _{n} + \sqrt{4 a _{n} ^{2} + 15 a _{n} ^{2}}}{5} = \frac{- 2 + \sqrt{19}}{5} a _{n} 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 a1=2a _{1} = 2이고 공비가 −2+195\displaystyle \frac{- 2 + \sqrt{19}}{5}인 등비수열이다. an=2×(−2+195)n−1\displaystyle a _{n} = 2 \times \left( \frac{- 2 + \sqrt{19}}{5} \right) ^{n - 1} 이때 정사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 둘레의 길이는 4an4 a _{n}이므로 lim⁡n→∞Ln=∑n=1∞4an=8∑n=1∞(−2+195)n−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} L _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 4 a _{n} = 8 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{- 2 + \sqrt{19}}{5} \right) ^{n - 1} =8×11−−2+195=407−19=4(7+19)3\displaystyle = 8 \times \frac{1}{1 - \frac{- 2 + \sqrt{19}}{5}} = \frac{40}{7 - \sqrt{19}} = \frac{4 ( 7 + \sqrt{19} )}{3}

태그

#등비급수#도형

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