미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사분원 정사각형 급수

문제

한 변의 길이가 11인 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD가 있다. 그림과 같이 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD 안에 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}를 각각 중심으로 하고 변 AB\mathrm{A} B를 반지름으로 하는 22개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이라 하자. 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} 안에 두 점 A1\mathrm{A} _{1}, B1\mathrm{B} _{1}을 각각 중심으로 하고 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 반지름으로 하는 22개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{n} \mathrm{B} _{n} \mathrm{C} _{n} \mathrm{D} _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty _{S_{n}}}의 값은? [4점]

①38\displaystyle \frac{3}{8}②916\displaystyle \frac{9}{16}③45\displaystyle \frac{4}{5}④98\displaystyle \frac{9}{8}⑤2316\displaystyle \frac{23}{16}

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②

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해설

사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 한 변의 길이를 aa라 하자. 이 때, AB‾1=12+a2\displaystyle \overline{AB} _{1} = \frac{1}{2} + \frac{\mathit{a}}{2}, B1C1‾=a\displaystyle \overline{B _{1} C _{1}} = \mathit{a}, AC1‾=1\displaystyle \overline{AC _{1}} = 1이므로 직각삼각형 AB1C1AB _{1} C _{1}에서 (12+a2)2+a2=12\displaystyle \left( \frac{1}{2} + \frac{a}{2} \right) ^{2} + a ^{2} = 1 ^{2} 54a2+a2−34=0\displaystyle \frac{5}{4} a ^{2} + \frac{a}{2} - \frac{3}{4} = 0 5a2+2a−3=(5a−3)(a+1)=05 a ^{2} + 2 a - 3 = ( 5 a - 3 ) ( a + 1 ) = 0 ∴ a=35\displaystyle a = \frac{3}{5} (∵ a>0a > 0) 따라서 정사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하면 수열 {ana _{n}}은 첫째항이 35\displaystyle \frac{3}{5}, 공비가 35\displaystyle \frac{3}{5}인 등비수열임을 알 수 있다. 따라서 수열 {SnS _{n}}은 첫째항이 925\displaystyle \frac{9}{25}, 공비가 925\displaystyle \frac{9}{25}인 등비수열이므로 ∑n=1∞Sn=9251−925=916\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{9}{25}}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{9}{16}

태그

#무한등비급수#도형

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