확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사분원 확률밀도함수

문제

연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $y = f \left( x \right)$ $( - 2 r \leq x \leq 2 r )$ 의 그래프가 그림과 같이 반지름의 길이가 $r$ 인 사분원들의 호로 이루어져 있을 때, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq X \leq \frac{1}{\sqrt{\pi + 2}} \right)$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{4}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{7}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{\pi + 2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{\pi + 4}{4 \pi + 8}$

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⑤

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해설

[출제의도] 확률밀도함수를 이용하여 확률값 구하기 함수 $f ( x )$ 의 그래프와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$ 이므로 $( \pi + 2 ) r ^{2} = 1$ 이다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{1}{\sqrt{\pi + 2}}$ 이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq X \leq r \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi r ^{2}}{4} + r ^{2}$ $\displaystyle = \frac{\pi + 4}{4 \pi + 8}$ 이다.

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