대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사분원 각 삼등분 반복

문제

그림과 같이 사분원 $\mathrm{AOB}$ 에 대하여 $\mathrm{\angle} AOB$ 를 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 ${\mathrm{A}} _{1}$ , $\mathrm{B} _{1}$ 이라 하고, $\mathrm{\angle} A _{1} OB _{1}$ 을 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{B} _{2}$ 라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속할 때, $\mathrm{\angle} A _{10} OB$ 의 크기는? [4점]

① $\displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{1}{3 ^{9}} \right)$ ② $\displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 + \frac{1}{3 ^{9}} \right)$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{1}{3 ^{10}} \right)$ ④ $\displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 + \frac{1}{3 ^{10}} \right)$ ⑤ $\displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 + \frac{1}{3 ^{11}} \right)$

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④

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해설

$\displaystyle \mathrm{\angle} A _{10} OB = \frac{\pi}{2} - \angle A _{10} OA$ $\displaystyle \mathrm{\angle} A _{10} OA = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} + \cdots + \frac{\pi}{6} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{9}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{1}{3 ^{10}} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\therefore} \angle A _{10} OB = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{1}{3 ^{10}} \right) = \frac{\pi}{4} \left( 1 + \frac{1}{3 ^{10}} \right)$

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