미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사분원 등비급수 넓이

문제

그림과 같이 A1B1‾=1+3\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 1 + \sqrt{3}, B1C‾=3+3\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C}} = 3 + \sqrt{3}인 직사각형 A1B1CD1\mathrm{A} _{1} B _{1} CD _{1}이 있다. 직사각형 A1B1CD1\mathrm{A} _{1} B _{1} CD _{1}의 내부에 점 A1\mathrm{A} _{1}을 중심으로 하고 반지름의 길이가 (3−1)A1B1‾\displaystyle \mathrm{\left( \sqrt{3} - 1 \right)} {\overline{A _{1} B _{1}}}인 사분원을 그릴 때, 이 사분원이 두 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}과 만나는 점을 각각 E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}이라 하고, 호 E1F1\mathrm{E} _{1} F _{1}의 길이를 3등분하는 점 중에서 점 E1\mathrm{E} _{1}에 가까운 점을 G1\mathrm{G} _{1}이라 하자. 사분원 A1E1F1\mathrm{A} _{1} E _{1} F _{1}의 내부와 세 점 G1\mathrm{G} _{1}, C\mathrm{C}, F1\mathrm{F} _{1}을 지나는 원의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1\mathrm{R} _{1}이라 하자. 그림 R1\mathrm{R} _{1}에서 점 F1\mathrm{F} _{1}을 지나고 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}에 수직인 직선이 선분 B1C\mathrm{B} _{1} C와 만나는 점을 B2\mathrm{B} _{2}라 하고, 선분 F1B2\mathrm{F} _{1} B _{2}와 선분 A1C\mathrm{A} _{1} C의 교점을 A2\mathrm{A} _{2}, 점 A2\mathrm{A} _{2}에서 선분 D1C\mathrm{D} _{1} C에 내린 수선의 발을 D2\mathrm{D} _{2}라 하자. 직사각형 A2B2CD2\mathrm{A} _{2} B _{2} CD _{2}의 내부에 점 A2\mathrm{A} _{2}을 중심으로 하고 반지름의 길이가 (3−1)A2B2‾\displaystyle \mathrm{\left( \sqrt{3} - 1 \right)} {\overline{A _{2} B _{2}}}인 사분원을 그릴 때, 이 사분원이 두 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, A2D2\mathrm{A} _{2} D _{2}과 만나는 점을 각각 E2\mathrm{E} _{2}, F2\mathrm{F} _{2}라 하고, 호 E2F2\mathrm{E} _{2} F _{2}의 길이를 3등분하는 점 중에서 점 E2\mathrm{E} _{2}에 가까운 점을 G2\mathrm{G} _{2}라 하자. 사분원 A2E2F2\mathrm{A} _{2} E _{2} F _{2}의 내부와 세 점 G2\mathrm{G} _{2}, C\mathrm{C}, F2\mathrm{F} _{2}을 지나는 원의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2\mathrm{R} _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 Rn\mathrm{R} _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 Sn\mathrm{S} _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \mathrm{\lim\limits} _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①π−3\displaystyle \pi - \sqrt{3}②2π−33\displaystyle 2 \pi - 3 \sqrt{3}③2π−23\displaystyle 2 \pi - 2 \sqrt{3}④2π−3\displaystyle 2 \pi - \sqrt{3}⑤3π−23\displaystyle 3 \pi - 2 \sqrt{3}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 발견적 추론능력-수열의 극한 A1E1‾=(3−1)A1B1‾=(3−1)(3+1)=2\displaystyle {\overline{A _{1} E _{1}}} = ( \sqrt{3} - 1 ) {\overline{A _{1} B _{1}}} = ( \sqrt{3} - 1 ) ( \sqrt{3} + 1 ) = 2 이고, 점 G1G _{1}은 호 E1F1E _{1} F _{1}을 3등분하는 점 중 하나이므로 ∠F1A1G1=60∘\angle F _{1} A _{1} G _{1} = 60 ^\circ 따라서 삼각형 A1G1F1A _{1} G _{1} F _{1}은 한 변의 길이가 2인 정삼각형이다

세 점 G1G _{1}, CC, F1F _{1}을 지나는 원의 중심을 O1O _{1}이라 하면 점 O1O _{1}은 선분 A1CA _{1} C위에 있다. 사각형 D1F1B2CD _{1} F _{1} B _{2} C는 정사각형이므로 ∠D1CF1=45∘\angle D _{1} CF _{1} = 45 ^\circ이고, ∠D1CA1=60∘\angle D _{1} CA _{1} = 60 ^\circ이므로 ∠F1CO1=∠CF1O1=15∘\angle F _{1} CO _{1} = \angle CF _{1} O _{1} = 15 ^\circ, ∠O1F1G1=60∘\angle O _{1} F _{1} G _{1} = 60 ^\circ 따라서 삼각형 O1F1G1O _{1} F _{1} G _{1}도 한 변의 길이가 2인 정삼각형이다. 따라서 S1=2×(4π×16−34×22)=43π−23\displaystyle S _{1} = 2 \times \left( 4 \pi \times \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 ^{2} \right) = \frac{4}{3} \pi - 2 \sqrt{3} 한편, B1C‾=3+3\displaystyle {\overline{B _{1} C}} = 3 + \sqrt{3}, B2C‾=(3+3)−2=1+3\displaystyle {\overline{B _{2} C}} = ( 3 + \sqrt{3} ) - 2 = 1 + \sqrt{3} 이므로 두 직사각형 A1B1CD1A _{1} B _{1} CD _{1}, A2B2CD2A _{2} B _{2} CD _{2}의 닮음비는 (3+3):(1+3)=3:1\displaystyle ( 3 + \sqrt{3} ) : ( 1 + \sqrt{3} ) = \sqrt{3} : 1 이다. 즉, 두 직사각형 AnBnCDnA _{n} B _{n} CD _{n}, An+1Bn+1CDn+1A _{n + 1} B _{n + 1} CD _{n + 1}의 닮음비가 3:1\displaystyle \sqrt{3} : 1이므로 넓이의 비는 3:13 : 1이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nS1(13)k−1=43π−231−13=2π−33\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{k - 1} = \frac{\frac{4}{3} \pi - 2 \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \pi - 3 \sqrt{3}

태그

#등비급수#닮음비#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로