대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

S_n=pa_n+1 수열 보기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제 nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하면 Sn=pan+1S _{n} = p a _{n} + 1이 성립한다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, pp는 11이 아닌 상수이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a1=11−p\displaystyle a _{1} = \frac{1}{1 - p} ㄴ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등비수열이다. ㄷ. p=23\displaystyle p = \frac{2}{3}이면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 등비수열과 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. S1=a1S _{1} = a _{1}이므로 pa1+1=a1pa _{1} + 1 = a _{1} ∴ a1=11−p\displaystyle a _{1} = \frac{1}{1 - p} (참) ㄴ. n≥2n \geq 2일 때, an=Sn−Sn−1a _{n} = S _{n} - S _{n-1} =(pan+1)−(pan−1+1)= ( pa _{n} + 1 ) - ( pa _{n-1} + 1 )=pan−pan−1= pa _{n} - pa _{n-1} ∴ an=pp−1an−1\displaystyle a _{n} = \frac{p}{p - 1} a _{n-1} (p≠1p \ne 1) 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등비수열이다. (참) ㄷ. p=23\displaystyle p = \frac{2}{3}이면 pp−1=−2<−1\displaystyle \frac{p}{p - 1} = - 2 < - 1이므로 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 발산한다. (거짓)

태그

#수열의 합과 일반항#등비수열#보기

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