미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

S_n 관계식 무한급수

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}의 첫째항부터 제 nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. a1=54\displaystyle a _{1} = \frac{5}{4}, Sn=an+n+3n+2\displaystyle S _{n} = a _{n} + \frac{n + 3}{n + 2} (n=2,3,4,⋯n = 2 , 3 , 4 , \cdots) 일 때, ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}의 값은? [3점] ①11②54\displaystyle \frac{5}{4}③32\displaystyle \frac{3}{2}④74\displaystyle \frac{7}{4}⑤22

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①

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해설

[출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다. n≥2n \geq 2일 때 Sn−an=Sn−1S _{n} - a _{n} = S _{n-1}이므로 Sn−an=Sn−1=n+3n+2\displaystyle S _{n} - a _{n} = S _{n-1} = \frac{n + 3}{n + 2} (n≥2n \geq 2) ∴ ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞Sn−1=1\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n-1} = 1

태그

#급수#수열의 합

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